Matematica discreta Esempi

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

Passaggio 1

Sottrai $y$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$4 y, 3, 1, 1$

Passaggio 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.4

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Passaggio 2.5

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 2.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.7

Il minimo comune multiplo di $4, 3, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Passaggio 2.8

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 3$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12$

Passaggio 2.9

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.10

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 2.11

Il minimo comune multiplo di $4 y, 3, 1, 1$ è la parte numerica $12$ moltiplicata per la parte variabile.

$12 y$

Passaggio 3

Moltiplica per $12 y$ ciascun termine in $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ per $12 y$ .

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.2.2

Scomponi $4$ da $4 y$ .

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.3

$3$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.5.2

Scomponi $3$ da $12 y$ .

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.8

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.8.1

Sposta $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.8.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Passaggio 3.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $12$ per $2$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

Passaggio 4

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sottrai $24 y$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $24 y$ da $- 4 y$ .

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

Passaggio 4.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

Passaggio 4.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.4

Sostituisci i valori $a = - 12$ , $b = - 28$ e $c = 3$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Eleva $- 28$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.5.1.2.2

Moltiplica $48$ per $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.5.1.3

Somma $784$ e $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.5.1.4

Riscrivi $928$ come $4^{2} \cdot 58$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.4.1

Scomponi $16$ da $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.5.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Passaggio 4.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Eleva $- 28$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.6.1.2.2

Moltiplica $48$ per $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.6.1.3

Somma $784$ e $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.6.1.4

Riscrivi $928$ come $4^{2} \cdot 58$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.4.1

Scomponi $16$ da $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.6.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Passaggio 4.6.3

Semplifica $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Passaggio 4.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Passaggio 4.6.5

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

Passaggio 4.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Eleva $- 28$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.7.1.2.2

Moltiplica $48$ per $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.7.1.3

Somma $784$ e $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.7.1.4

Riscrivi $928$ come $4^{2} \cdot 58$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.4.1

Scomponi $16$ da $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.7.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

Passaggio 4.7.3

Semplifica $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

Passaggio 4.7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

Passaggio 4.7.5

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Passaggio 4.8

Consolida le soluzioni.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Passaggio 5

Trova il dominio di $\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{4 y}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 y = 0$

Passaggio 5.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = 0$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$y = 0$

Passaggio 5.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $y$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Passaggio 7

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Testa un valore sull'intervallo $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$y = - 5$

Passaggio 7.1.2

Sostituisci $y$ con $- 5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

Passaggio 7.1.3

Il lato sinistro di $- 0.38\overline{3}$ non è minore del lato destro di $- 3$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$y = - 1$

Passaggio 7.2.2

Sostituisci $y$ con $- 1$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

Passaggio 7.2.3

Il lato sinistro di $- 0.58\overline{3}$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$y = 0.05$

Passaggio 7.3.2

Sostituisci $y$ con $0.05$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

Passaggio 7.3.3

Il lato sinistro di $4.\overline{6}$ non è minore del lato destro di $2.05$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.4

Testa un valore sull'intervallo $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$y = 3$

Passaggio 7.4.2

Sostituisci $y$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

Passaggio 7.4.3

Il lato sinistro di $- 0.25$ è minore del lato destro di $5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Vero

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Falso

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Vero

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ Falso

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ Vero

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Falso

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ Vero

Passaggio 8

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ o $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

Passaggio 9

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

Passaggio 10